sin4x的积分是多少

积分 \\（\\sin^4{x}\\） 可以通过降幂公式来简化计算。具体步骤如下：

1. 使用三角恒等式 \\（\\sin^2{x} = \\frac{1 - \\cos{2x}}{2}\\），将 \\（\\sin^4{x}\\） 转换为 \\（\\left（\\frac{1 - \\cos{2x}}{2}\\right）^2\\）。

2. 展开得到 \\（\\frac{1}{4} - \\frac{1}{2}\\cos{2x} + \\frac{1}{4}\\cos^2{2x}\\）。

3. 再次使用三角恒等式 \\（\\cos^2{2x} = \\frac{1 + \\cos{4x}}{2}\\），将 \\（\\cos^2{2x}\\） 转换为 \\（\\frac{1 + \\cos{4x}}{2}\\）。

4. 展开得到 \\（\\frac{1}{4} - \\frac{1}{2}\\cos{2x} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{8}\\cos{4x}\\）。

5. 合并同类项得到 \\frac{3}{8} - \\frac{1}{2}\\cos{2x} + \\frac{1}{8}\\cos{4x}\\）。

6. 对上述表达式进行积分，得到 \\（\\frac{3}{8}x - \\frac{1}{4}\\sin{2x} + \\frac{1}{32}\\sin{4x} + C\\），其中 \\（C\\） 是积分常数。

因此，积分 \\（\\int \\sin^4{x} \\, dx\\） 的结果是 \\（\\frac{3}{8}x - \\frac{1}{4}\\sin{2x} + \\frac{1}{32}\\sin{4x} + C\\）

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